L'inverse d'une moyenne par rapport à la moyenne des inverses : pourquoi ne s'agit-il pas de la même chose ?
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Chaque nombre possède un « inverse », qui s'obtient en divisant 1 par ce nombre. Par exemple, l'inverse de 5 est 1/5 (ou 0,2).
Considérons un ensemble de nombres et leurs inverses :
Nombre | Inverse |
|---|---|
A | 1/A |
B | 1/B |
C | 1/C |
D | 1/D |
E | 1/E |
F | 1er étage |
Calculez la moyenne de l'ensemble : (A + B + C + D + E + F) / 6 = G, puis calculez l'inverse de cette moyenne (1/G).
Calculez la moyenne de toutes les inverses: (1/A + 1/B + 1/C + 1/D + 1/E + 1/F)/6
On pourrait s'attendre à ce que les deux résultats soient identiques, mais ce n'est pas le cas !
Voici un exemple très simple qui illustre la différence entre les méthodes et les résultats obtenus à partir d'un ensemble de deux nombres (2 et 4) :
La moyenne de 2 et 4 est 3. L’«inverse de la moyenne »est donc 1/3 (ou 0,333)
L'inverse de 2 est ½. L'inverse de 4 est ¼. La «moyenne des inverses »est (½ + ¼)/2, ce qui équivaut à 3/8 (soit 0,375).
On constate donc que l'inverse de la moyenne n'est pas égal à la moyenne des inverses.
En quoi cela concerne-t-il les taux de change ?
De nombreuses entreprises utilisent les taux de change moyens de la période pour la réévaluation ou la conversion. Ces moyennes sont généralement calculées à la fin de chaque période comptable, à partir des taux de change quotidiens enregistrés au cours de cette période.
Comment calcule-t-on les moyennes sur une période donnée ?
Prenons un exemple avec le dollar américain (USD) et l'euro (EUR) pour le mois de mars :
Vous disposez des taux quotidiens USD/EUR pour les 31 jours du mois. Pour calculer la moyenne sur la période, il suffit d'additionner les 31 taux quotidiens, puis de diviser le total par 31.
Mais qu'en est-il du taux de change EUR/USD ? Il existe deux méthodes couramment utilisées :
Pour chaque cours quotidien USD>EUR, calculez l'inverse afin d'obtenir le cours EUR>USD. Calculez ensuite la moyenne des 31 cours EUR>USD, c'est-à-dire la moyenne des inverses.
Prenez la moyenne USD/EUR pour la période et calculez l'inverse, c'est-à-dire utilisez l' inverse de la moyenne.
Les deux méthodes ci-dessus sont tout aussi valables l'une que l'autre, mais elles donneront des résultats différents.
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